my zoONne: IMO 1969

Tuesday, October 26, 2010

IMO 1969

Hari pertama

1. Buktikan bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan asli $m$ sehingga $n^4+m$ bukan bilangan prima untuk sebarang bilangan asli $n$ .	S
2. Misalkan $f(x)=f(x)=\cos(a_{1}+x)+{1\over2}\cos(a_{2}+x)+{1\over4}\cos(a_{3}+x)+\ldots+{1\over2^{n-1}}\cos(a_{n}+x)$ , di mana $a_i$ adalah konstanta real dan $x$ adalah variabel real. Jika $x_1,x_2$ adalah akar-akar dari $f$ , buktikan bahwa $x_1-x_2$ adalah kelipatan dari $\pi$ .	S
3. Untuk $k=1,2,3,4,5$ , tentukan syarat perlu dan cukup untuk $a>0$ sehingga terdapat tetrahedron dengan $k$ rusuk dengan panjang $a$ dan sisanya memiliki panjang 1.	S

Hari kedua

4. Misalkan $AB$ adalah diameter dari lingkaran $\Gamma$ . Titik $C\ne A,B$ dipilih pada lingkaran $\Gamma$ . Titik $D$ adalah proyeksi $C$ ke $AD$ . Tiga lingkaran $\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3$ menyinggung $AB$ sedemikian sehingga $\Gamma_1$ adalah lingkaran dalam $ABC$ , $\Gamma_2,\Gamma_3$ menyinggung $CD$ dan $\Gamma$ . Buktikan bahwa $\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3$ punya garis singgung yang sama selain $AB$ .	S
5. Diberikan $n>4$ titik pada bidang, tidak ada tiga yang kolinear. Buktikan bahwa ada minimal $\frac{(n-3)(n-4)}2$ segiempat konveks yang dibentuk dari titik-titik tersebut.	S
6. Diberikan bilangan real $x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2$ dengan $x_1,x_2>0,x_1y_1>z_1^2,x_2y_2>z_2^2$ . Buktikan bahwa ${8\over(x_{1}+x_{2})(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})^{2}}\le{1\over x_{1}y_{1}-z_{1}^{2}}+{1\over x_{2}y_{2}-z_{2}^{2}}.$ Tentukan syarat perlu dan cukup agar kesamaan terjadi.

No comments:

Post a Comment