Tuesday, October 26, 2010

Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

Indonesia 2008

Hari pertama (3 jam)

1. Diberikan segitiga $ABC$ . Titik $D,E,F$ berada di luar segitiga $ABC$ sehingga $ABD,BCE,CAF$ adalah segitiga sama sisi. Buktikan bahwa lingkaran luar $ABD,BCE,CAF$ konkuren.	S
2. Buktikan bahwa untuk setiap $x,y\in\mathbb{R}^+$ , $\frac1{(1+\sqrt{x})^2}+\frac1{(1+\sqrt{y})^2}\ge\frac2{x+y+2}$ .	S
3. Cari semua bilangan asli $S$ yang dapat dinyatakan dalam $S=\frac{a+b}c+\frac{b+c}a+\frac{c+a}b$ dengan $a,b,c\in\mathbb{N}$ dan memenuhi $FPB(a,b)=FPB(b,c)=FPB(c,a)=1$ .	S
4. Diberikan himpunan $A=\{1,2,3,\ldots,2008\}$ . a) Tentukan banyaknya subhimpunan dari $A$ sehingga hasil kali anggotanya habis dibagi 7. b) Jika $N(i)$ adalah banyaknya subhimpunan sehingga jumlah anggotanya bersisa $i$ jika dibagi 7, buktikan bahwa $N(0)-N(1)+N(2)-N(3)+N(4)-N(5)+N(6)-N(7)=0$ .	S

Hari kedua (3 jam)

5. Misalkan $m,n>1$ adalah bilangan bulat sedemikian rupa sehingga $n\|4^m-1,2^m\|n-1$ . Haruskah $n=2^m+1$ ?	S
6. Ada 21 orang yang berhubungan secara rahasia dengan menggunakan frekuensi gelombang radio yang berbeda. Ada pasangan dua orang yang dapat berhubungan, dan boleh ada yang tidak dapat berhubungan. Setiap pasangan berhubungan hanya dengan satu frekuensi tertentu dan tidak bisa digunakan pasangan lain. Dari setiap tiga orang, selalu ada dua orang yang tidak dapat berhubungan. Tentukan banyaknya frekuensi maksimum.	S
7. Diberikan segitiga $ABC$ yang panjang sisi-sisinya $a,b,c$ . Garis-garis singgung lingkaran dalam $ABC$ yang sejajar dengan sisi-sisi segitiga membentuk tiga segitiga kecil. Dalam masing-masing segitiga kecil dibuat lingkaran dalam. Buktikan bahwa jumlah luas keempat lingkaran dalam ini adalah $\frac{\pi(a^2+b^2+c^2)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}{(a+b+c)^3}.$	S
8. Tentukan semua fungsi $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ sehingga $f(mn)+f(m+n)=f(m)f(n)+1$ untuk semua bilangan asli $n$ .

No comments:

Post a Comment