Tuesday, October 26, 2010

Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

Indonesia 2007

Hari pertama (3 jam)

1. Misalkan $ABC$ adalah segitiga dengan $\angle ABC=\angle ACB=70^{\circ}$ . Misalkan $D$ pada sisi $BC$ sehingga $AD$ adalah garis tinggi, titik $E$ pada $AB$ sehingga $\angle ACE=10^{\circ}$ , dan titik $F$ adalah perpotongan $AD$ dengan $CE$ . Buktikan bahwa $CF=BC$ .	S
2. Untuk setiap bilangan asli $n$ , $b(n)$ menyatakan banyaknya faktor positif dari $n$ dan $p(n)$ adalah jumlah semua faktor positif dari $n$ . Misalkan $k$ adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1. a) Buktikan bahwa ada tak berhingga banyaknya bilangan asli $n$ sehingga $b(n)=k^2-k+1$ . b) Buktikan bahwa ada terhingga banyaknya bilangan asli $n$ sehingga $p(n)=k^2-k+1$ .	S
3. Misalkan $a,b,c$ adalah bilangan real sehingga $5(a^2+b^2+c^2)<6(ab+bc+ca)$ . Buktikan bahwa ketiga ketaksamaan berikut berlaku: $a+b>c,b+c>a,c+a>b$ .	S
4. Suatu susunan 10 digit dari 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 disebut cantik apabila (i) jika dibaca dari kiri ke kanan, 0,1,2,3,4 berada dalam urutan naik sementara 5,6,7,8,9 berada dalam urutan turun, (ii) 0 bukan digit paling kiri. Tentukan banyaknya susunan cantik.	S

Hari kedua (3 jam)

5. Misalkan $r,s$ adalah dua bilangan asli dan $P$ adalah petak-petak dengan $r$ baris dan $s$ kolom. Misalkan $M$ adalah banyaknya benteng terbanyak pada $P$ sehingga tidak ada yang saling serang. a) Tentukan $M$ . b) Ada berapa cara menempatkan $M$ benteng pada $P$ sehingga tidak ada yang saling serang?	S
6. Cari semua tripel bilangan real $(x,y,z)$ yang memenuhi $x=y^3+y-8\\y=z^3+z-8\\z=x^3+x-8$	S
7. Empat titik $A,B,C,D$ berada pada keliling lingkaran $S$ di mana $AB$ adalah diameter, tetapi $CD$ tidak. Diberikan juga bahwa $C$ dan $D$ berada pada sisi yang berbeda dari $AB$ . Garis singgung pada $C$ dan $D$ berpotongan di $P$ . Diketahui juga $Q\in AC\cap BD,R\in AD\cap BC$ . a) Buktikan bahwa $P,Q,R$ kolinear. b) Buktikan bahwa $QR$ tegak lurus $AB$ .	S
8. Misalkan $m,n$ adalah dua bilangan asli. Jika ada tak terhingga banyaknya bilangan bulat $k$ sehingga $k^2+2kn+m^2$ adalah bilangan kuadrat sempurna, buktikan $m=n$ .

No comments:

Post a Comment