Tuesday, October 26, 2010

Olimpiade Matematika

Database Soal Olimpiade Matematika dari Seluruh Dunia

Indonesia 2006

Hari pertama (3 jam)

1. Tentukan semua pasangan bilangan real $(x,y)$ yang memenuhi $x^3-y^3=4(x-y)\\ x^3+y^3=2(x+y)$	S
2. Misalkan $a,b,c$ adalah bilangan-bilangan asli sehingga $30\|(a+b+c)$ . Buktikan $30\|(a^5+b^5+c^5)$ .	S
3. Misalkan $S$ adalah himpunan semua segitiga $ABC$ sehingga $\tan A,\tan B,\tan C$ adalah bilangan-bilangan asli. Buktikan bahwa semua segitiga anggota $S$ sebangun.	S
4. Misalkan $n>2$ . Sebuah bidak hitam ditempatkan pada petak pertama dan bidak putih ditempatkan pada petak terakhir sebuah papan $1\times n$ . Wiwit dan Siti melangkah bergantian. Wiwit memulai permainan dengan bidak putih. Pada setiap langkah, pemain memindahkan bidaknya sendiri satu atau dua petak ke kanan atau ke kiri tanpa melompati bidak lawan. Pemain yang tidak bisa melangkah dinyatakan kalah. Pemain manakah yang memiliki cara (strategi) untuk selalu memenangkan permainan, apa pun yang dilakukan lawannya? Jelaskan strategi pemain tersebut?	S

Hari kedua (3 jam)

5. Pada segitiga $ABC$ , $M$ adalah titik tengah $BC$ dan $G$ adalah titik berat. Sebuah garis $l$ melalui $G$ dan memotong ruas garis $AB$ dan $AC$ di $P$ dan $Q$ berturut-turut ( $P\ne B,Q\ne C$ ). Tunjukkan bahwa $\frac{[BGM]}{[PAG]}+\frac{[CMG]}{[QGA]}=\frac32$ .	S
6. Setiap nomor telepon di suatu daerah terdiri dari 8 angka dan diawali dengan angka 8. Pak Edy, yang baru pindah ke daerah itu, mengajukan pemasangan sebuah telepon baru. Berapakah peluang pak Edy mendapatkan nomor telepon yang memuat tidak lebih dari 5 angka berbeda?	S
7. Misalkan $a,b,c$ adalah bilangan real sehingga $ab,bc,ca$ adalah bilangan rasional. Buktikan ada bilangan $x,y,z$ , tidak semuanya 0, sehingga $ax+by+cz=0$ .	S
8. Tentukan bilangan bulat dengan 85 angka yang paling besar sehingga jumlah semua angkanya sama dengan hasil kali semua angkanya.

No comments:

Post a Comment