Indikator
1. Membedakan barisan dan deret
2. Membedakan barisan aritmatika dan barisan geometri
3. Merumuskan suku ke-n dari pola bilangan
4. Merumuskan suku ke – n dari barisan aritmatika
5. Menentukan suku ke – n barisan aritmatika
6. Merumuskan jumlah n suku deret aritmatika
7. Merumuskan suku ke – n dari barisan geometri
8. Menentukan suku ke – n dari barisan geometri
9. Merumuskan jumlah n suku deret geometri
10. Menentukan jumlah n suku deret geometri
11. Menjelaskan ciri deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah
12. Menghitung jumlah deret geometri tak hingga
13. Menuliskan suatu deret aritmetika dan geometri dengan notasi sigma
14. Menjelaskan ciri rumus yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika
15. Menggunakan induksi matematika dalam pembuktian
16. Menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya berbentuk deret aritmetika atau geometri
17. Merumuskan deret yang merupakan model matematika dari masalah
18. Menentukan penyelesaian dari model matematika
19. Memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah

Definisi Barisan
Setiap daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mengikuti pola tertentu disebut barisan. Setiap bilangan dari barisan merupakan suku dari barisan. Bila urutan bilangan itu dipisahkan tanda koma maka ia disebut barisan.
Anggota barisan itu adalah : U1, U2, U3, …, Un-1, Un
Un melambangkan suku ke – n dari suatu barisan, n adalah bilangan asli.

Fibonacci (1180 – 1250, Italia)
Yang nama lengkapnya Leonardo of Pisa, adalah putra seorang saudagar Italia. Dalam perjalanannya ke Eropa dan Afrika Utara, ia mengembangkan kegemarannya akan bilangan. Dalam karya terbesarnya , Liber Abaci, ia menjelaskan suatu teka-teki yang membawanya kepada apa yang sekarang dikenal sebagai barisan bilangan Fibonacci. Barisannya adalah 1, 1, 2, 3,5,8,13,21,... Setiap bilangan atau angka dalam barisan ini merupakan jumlah dari dua bilangan sebelumnya, yaitu 1 + 1 = 2, 1+ 2 = 3, 2 + 3 = 5, ... Bilangan Fibonacci bisa dijumpai dalam susunan daun bungan atau segmen-segmen dalam buah nanas atau biji cemara.



Bila urutan bilangan itu dipisahkan tanda penjumlahan maka ia disebut deret.
Contoh : Barisan : 2,5,8,11,14,17,20
Deret : 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20

Rumus suku ke – n Barisan Aritmatika
Pada barisan aritmatika dengan bentuk umum U1, U2, U3, …, Un-1, Un dengan U1 adalah suku pertama, U2 adalah suku ke-2, U3 adalah suku ke-3 dan seterusnya. Selisih antara dua suku berurutan disebut juga beda dan diberi notasi b, sehingga b = U2 - U1 = U3 - U2 = U4 – U3 = …= Un – Un-1. Misalkan suku pertama U1 dinamakan a dan beda antara 2 suku berurutan adalah b, maka :..
U1 = a
U2 - U1 = b  U2 = U1 + b = a + b = a + (2 -1)b
U3 - U2 = b  U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b = a + (3 -1)b
U4 - U3 = b  U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b = a + (4 -1)b
Dengan memperhatikan pola suku-suku diatas kita dapat menyimpulkan humus umum suku ke-n adalah: Un = a + (n -1)b dengan Un : suku ke-n , a : suku pertama dan b : beda

Contoh :
1. Tentukan suku ke -35 dari barisan 3, 7, 11, 15,…
Jawab:
U1 = a = 3, b = U2 - U1 = 7 -3 = 4, n =35
Un = a + (n -1)b
U35 = 3 + (35 -1)4 = 139
Jadi suku ke – 35 adalah 139
2. a. Carilah humus suku-n barisan 60, 56, 52, 48,…
b. Suku ke berapakah dari barisan di atas yang nilainya hádala 16?
Jawab :
a. Un = a + (n -1)b
= 60 – 4 (n – 1) = 64 – 4n
b. Un = 64 - 4n
16 = 64 - 4n
4n = 48
n = 12
3. Pada suatu barisan aritmatika suku ke -10 adalah 41 dan suku ke -5 adalah 21. Tentukan suku ke-125
Jawab :
U10 = a + (10 -1)b = a + 9b = 41
U5 = a + (5 -1)b = a + 4b = 21
5b = 20
b = 4
a = 5
U125 = 5 + (125 -1) 4 = 5 + 124.4 = 501

Kegiatan :
Misal U1 = a, U2 = a + b, U3 = a + 2b, dan seterusnya.
a. Jumlahkan setiap 2 suku ganjil kemudian dibagi 2 atau dikalikan ½ , misal ½ (U1 + U3), ½ (U1 + U5), dan seterusnya selanjutnya bandingkan dengan suku-suku yang lain. Apa yang Anda dapatkan?
b. Jumlahkan setiap 2 suku genap kemudian dibagi 2 atau dikalikan ½ , misal ½ (U2 + U4), ½ (U2 + U6), dan seterusnya selanjutnya bandingkan dengan suku-suku yang lain. Apa yang Anda dapatkan?

Deret Aritmatika
Tentu Anda sudah mengetahui cerita tentang matematikawan Carl Friederich Gauss. Ketika masih di SD ia diminta gurunya untuk menjumlahkan 100 bilangan asli yang pertama. Teknik kecil sederhana tetapi tidak dirugakan lagi keefektifannya. Ia memisalkan S adalah jumlah 100 bilangan asli yang pertama seperti ini.
S = 1 + 2 + 3+ 4 + … + 100
Kemudian ia menulis penjumlahan itu dengan urutan suku-suku terbalik
S = 100 + 99 + 98 + 97 + … + 1
Selanjutnya ia menjumlahkan kedua deret itu ada 100, maka penjumlahan itu dapat juga diutulis sebagai:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100
S = 100 + 99 + 98 + 97 + … + 1

2S = 101 + 101 + 101 + … + 101
Karena banyak suku dalam deret itu ada 100, maka penjumlahan itu dapat juga ditulis sebagai :
2S = 100.(101) = 10100
S = 5050
Teknik menghitung Gauss ini yang diikuti selanjutnya untuk mendapatkan rumus jumlah n sukju pertama deret aritmatika. Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Dari barisan aritmatika U1, U2, U3, U4, …, Un diperoleh deret aritmatika U1 + U2 + U3 + U4 + …. Bila jumlah n suku yang pertama dari statu deret aritmatika dinyatakan dengan Sn maka
Sn = U1 + U2 + U3 +U4 +…+ Un
Misalkan Un = k, maka
Sn = U1 + U2 + U3 +U4 +…+ k
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + …. + (k-b) + k …..(1)
Jika urutan penulisan suku-suku dibalik maka diperoleh
Sn = k + (k - b) + (k - 2b) + (k - 3b) + …. + (a + b) + a …..(2)
Dengan menjumlahkan persamaan (1) dan (2) didapat :
2 Sn = (a + k) + (a + k) +(a + k) +(a + k) + ….+(a + k) +(a + k)
= n (a + k) = n [ 2a + (n -1) b]
Jadi Sn = ½ n (a + k) atau Sn = ½ n (a + Un) = ½ n [2a + (n-1)b ]
Dengan a = suku pertama, Un = suku ke-n, b = beda.

Barisan Geometri

Alkisah di negeri Antah Berantah raja akan memberikan hadiah kepada juara catur di negeri itu. Ketika raja bertanya hadiah apa yang diiinginkan oleh Abu, sang juara menjawab bahwa dia menginginkan hadiah beras yang jumlahnya adalah banyak beras di persegí terakhir papan catur yang diperoleh dari kelipatan beras 1 kg di persegí pertama, 2 kg di persegí kedua, 4 kg di persegí ketiga, dan seterusnya. Raja yang mendengar permintaan itu langsung menyetujui karena raja berfikir bahwa hadiah yang diminta itu begitu sederhana dan berapa kg beras sesungguhnya jumlah hadiah Abu?

Terdapat barisan 1, 2, 4, 8, 16, … mempunyai perbandingan yang tetap antara dua suku berurutan. Perbandingan yang tetap itu disebut rasio dan dilambangkan dengan r. Pada barisan ini perbandingan dua suku yang berurutan adalah r = 2. Barisan yang mempunyai perbandingan yang tetap antara dua suku berurutan disebut barisan geometri.
Secara umum dapat dikatakan :
Setiap barisan U1, U2, U3, …, Un-1, Un , disebut barisan geometri jika


Rumus suku ke –n Barisan Geometri

Jika rasio antara suku apa saja dalam suatu baruisan dengan suku sebelumnya merupakan suatu bilangan tetap r maka barisan ini adalah barisan geometri. Bilangan tetap r disebut sebagai rasio dari barisan.
Contoh :
Gambar berikut merupakan spermatogenesis :



Jawab :
Banyak awal bakteri adalah U1 = 20
1 x 3 hari kemudian banyak bakteri menjadi U2 = 2U1 = 2(20) = 40
2 x 3 hari kemudian banyak bakteri menjadi U3 = 2U2 = 2(40) = 80
3 x 3 hari kemudian banyak bakteri menjadi U4 = 2U3 = 2(80) = 160



8 x 3 hari kemudian banyak bakteri menjadi U9 = ....?
Tampak bahwa barisan yang terbentuk adalah 20, 40, 80, 160, ..., U9, ...
Barisan itu merupakan barisan geometri dengan
U1 = 20 dan rasio r = =







Jawab :

Jika suku pertama U1 = a dan perbandingan dua suku yang berurutan disebut rasio r, maka

Indikator
1. Membedakan barisan dan deret
2. Membedakan barisan aritmatika dan barisan geometri
3. Merumuskan suku ke-n dari pola bilangan
4. Merumuskan suku ke – n dari barisan aritmatika
5. Menentukan suku ke – n barisan aritmatika
6. Merumuskan jumlah n suku deret aritmatika
7. Merumuskan suku ke – n dari barisan geometri
8. Menentukan suku ke – n dari barisan geometri
9. Merumuskan jumlah n suku deret geometri
10. Menentukan jumlah n suku deret geometri
11. Menjelaskan ciri deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah
12. Menghitung jumlah deret geometri tak hingga
13. Menuliskan suatu deret aritmetika dan geometri dengan notasi sigma
14. Menjelaskan ciri rumus yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika
15. Menggunakan induksi matematika dalam pembuktian
16. Menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya berbentuk deret aritmetika atau geometri
17. Merumuskan deret yang merupakan model matematika dari masalah
18. Menentukan penyelesaian dari model matematika
19. Memberikan tafsiran terhadap solusi dari masalah

Definisi Barisan
Setiap daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mengikuti pola tertentu disebut barisan. Setiap bilangan dari barisan merupakan suku dari barisan. Bila urutan bilangan itu dipisahkan tanda koma maka ia disebut barisan.
Anggota barisan itu adalah : U1, U2, U3, …, Un-1, Un
Un melambangkan suku ke – n dari suatu barisan, n adalah bilangan asli.

Fibonacci (1180 – 1250, Italia)
Yang nama lengkapnya Leonardo of Pisa, adalah putra seorang saudagar Italia. Dalam perjalanannya ke Eropa dan Afrika Utara, ia mengembangkan kegemarannya akan bilangan. Dalam karya terbesarnya , Liber Abaci, ia menjelaskan suatu teka-teki yang membawanya kepada apa yang sekarang dikenal sebagai barisan bilangan Fibonacci. Barisannya adalah 1, 1, 2, 3,5,8,13,21,... Setiap bilangan atau angka dalam barisan ini merupakan jumlah dari dua bilangan sebelumnya, yaitu 1 + 1 = 2, 1+ 2 = 3, 2 + 3 = 5, ... Bilangan Fibonacci bisa dijumpai dalam susunan daun bungan atau segmen-segmen dalam buah nanas atau biji cemara.



Bila urutan bilangan itu dipisahkan tanda penjumlahan maka ia disebut deret.
Contoh : Barisan : 2,5,8,11,14,17,20
Deret : 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20

Rumus suku ke – n Barisan Aritmatika
Pada barisan aritmatika dengan bentuk umum U1, U2, U3, …, Un-1, Un dengan U1 adalah suku pertama, U2 adalah suku ke-2, U3 adalah suku ke-3 dan seterusnya. Selisih antara dua suku berurutan disebut juga beda dan diberi notasi b, sehingga b = U2 - U1 = U3 - U2 = U4 – U3 = …= Un – Un-1. Misalkan suku pertama U1 dinamakan a dan beda antara 2 suku berurutan adalah b, maka :..
U1 = a
U2 - U1 = b  U2 = U1 + b = a + b = a + (2 -1)b
U3 - U2 = b  U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b = a + (3 -1)b
U4 - U3 = b  U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b = a + (4 -1)b
Dengan memperhatikan pola suku-suku diatas kita dapat menyimpulkan humus umum suku ke-n adalah: Un = a + (n -1)b dengan Un : suku ke-n , a : suku pertama dan b : beda

Contoh :
1. Tentukan suku ke -35 dari barisan 3, 7, 11, 15,…
Jawab:
U1 = a = 3, b = U2 - U1 = 7 -3 = 4, n =35
Un = a + (n -1)b
U35 = 3 + (35 -1)4 = 139
Jadi suku ke – 35 adalah 139
2. a. Carilah humus suku-n barisan 60, 56, 52, 48,…
b. Suku ke berapakah dari barisan di atas yang nilainya hádala 16?
Jawab :
a. Un = a + (n -1)b
= 60 – 4 (n – 1) = 64 – 4n
b. Un = 64 - 4n
16 = 64 - 4n
4n = 48
n = 12
3. Pada suatu barisan aritmatika suku ke -10 adalah 41 dan suku ke -5 adalah 21. Tentukan suku ke-125
Jawab :
U10 = a + (10 -1)b = a + 9b = 41
U5 = a + (5 -1)b = a + 4b = 21
5b = 20
b = 4
a = 5
U125 = 5 + (125 -1) 4 = 5 + 124.4 = 501

Kegiatan :
Misal U1 = a, U2 = a + b, U3 = a + 2b, dan seterusnya.
a. Jumlahkan setiap 2 suku ganjil kemudian dibagi 2 atau dikalikan ½ , misal ½ (U1 + U3), ½ (U1 + U5), dan seterusnya selanjutnya bandingkan dengan suku-suku yang lain. Apa yang Anda dapatkan?
b. Jumlahkan setiap 2 suku genap kemudian dibagi 2 atau dikalikan ½ , misal ½ (U2 + U4), ½ (U2 + U6), dan seterusnya selanjutnya bandingkan dengan suku-suku yang lain. Apa yang Anda dapatkan?

Deret Aritmatika
Tentu Anda sudah mengetahui cerita tentang matematikawan Carl Friederich Gauss. Ketika masih di SD ia diminta gurunya untuk menjumlahkan 100 bilangan asli yang pertama. Teknik kecil sederhana tetapi tidak dirugakan lagi keefektifannya. Ia memisalkan S adalah jumlah 100 bilangan asli yang pertama seperti ini.
S = 1 + 2 + 3+ 4 + … + 100
Kemudian ia menulis penjumlahan itu dengan urutan suku-suku terbalik
S = 100 + 99 + 98 + 97 + … + 1
Selanjutnya ia menjumlahkan kedua deret itu ada 100, maka penjumlahan itu dapat juga diutulis sebagai:
S = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100
S = 100 + 99 + 98 + 97 + … + 1

2S = 101 + 101 + 101 + … + 101
Karena banyak suku dalam deret itu ada 100, maka penjumlahan itu dapat juga ditulis sebagai :
2S = 100.(101) = 10100
S = 5050
Teknik menghitung Gauss ini yang diikuti selanjutnya untuk mendapatkan rumus jumlah n sukju pertama deret aritmatika. Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Dari barisan aritmatika U1, U2, U3, U4, …, Un diperoleh deret aritmatika U1 + U2 + U3 + U4 + …. Bila jumlah n suku yang pertama dari statu deret aritmatika dinyatakan dengan Sn maka
Sn = U1 + U2 + U3 +U4 +…+ Un
Misalkan Un = k, maka
Sn = U1 + U2 + U3 +U4 +…+ k
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + …. + (k-b) + k …..(1)
Jika urutan penulisan suku-suku dibalik maka diperoleh
Sn = k + (k - b) + (k - 2b) + (k - 3b) + …. + (a + b) + a …..(2)
Dengan menjumlahkan persamaan (1) dan (2) didapat :
2 Sn = (a + k) + (a + k) +(a + k) +(a + k) + ….+(a + k) +(a + k)
= n (a + k) = n [ 2a + (n -1) b]
Jadi Sn = ½ n (a + k) atau Sn = ½ n (a + Un) = ½ n [2a + (n-1)b ]
Dengan a = suku pertama, Un = suku ke-n, b = beda.

Barisan Geometri

Alkisah di negeri Antah Berantah raja akan memberikan hadiah kepada juara catur di negeri itu. Ketika raja bertanya hadiah apa yang diiinginkan oleh Abu, sang juara menjawab bahwa dia menginginkan hadiah beras yang jumlahnya adalah banyak beras di persegí terakhir papan catur yang diperoleh dari kelipatan beras 1 kg di persegí pertama, 2 kg di persegí kedua, 4 kg di persegí ketiga, dan seterusnya. Raja yang mendengar permintaan itu langsung menyetujui karena raja berfikir bahwa hadiah yang diminta itu begitu sederhana dan berapa kg beras sesungguhnya jumlah hadiah Abu?

Terdapat barisan 1, 2, 4, 8, 16, … mempunyai perbandingan yang tetap antara dua suku berurutan. Perbandingan yang tetap itu disebut rasio dan dilambangkan dengan r. Pada barisan ini perbandingan dua suku yang berurutan adalah r = 2. Barisan yang mempunyai perbandingan yang tetap antara dua suku berurutan disebut barisan geometri.
Secara umum dapat dikatakan :
Setiap barisan U1, U2, U3, …, Un-1, Un , disebut barisan geometri jika


Rumus suku ke –n Barisan Geometri

Jika rasio antara suku apa saja dalam suatu baruisan dengan suku sebelumnya merupakan suatu bilangan tetap r maka barisan ini adalah barisan geometri. Bilangan tetap r disebut sebagai rasio dari barisan.
Contoh :
Gambar berikut merupakan spermatogenesis :



Jawab :
Banyak awal bakteri adalah U1 = 20
1 x 3 hari kemudian banyak bakteri menjadi U2 = 2U1 = 2(20) = 40
2 x 3 hari kemudian banyak bakteri menjadi U3 = 2U2 = 2(40) = 80
3 x 3 hari kemudian banyak bakteri menjadi U4 = 2U3 = 2(80) = 160



8 x 3 hari kemudian banyak bakteri menjadi U9 = ....?
Tampak bahwa barisan yang terbentuk adalah 20, 40, 80, 160, ..., U9, ...
Barisan itu merupakan barisan geometri dengan
U1 = 20 dan rasio r = =







Jawab :

Jika suku pertama U1 = a dan perbandingan dua suku yang berurutan disebut rasio r, maka